我们都见过有无穷数组的图表充满惊奇和惊奇的小方块。用数学术语来说，我们称之为“空间的周期性平铺”，它的形状覆盖了整个区域，既没有重叠，也没有间隙。现在将纸移动一个平铺的长度或旋转90度，你会得到相同的图案。原因是整张纸与上面的一块瓷砖具有相同的对称性。现在拿一个五边形来代替正方形——你很快就会发现不可能做出类似的图案，因为五边形之间如果没有相互重叠或留下明显的空隙，就无法匹配在一起。
像这样的图案和由原子或分子组成的晶体在对称性上是相似的。你会惊奇地发现，这类安排在自然界中是首选的，因为它们需要最少的能量来组装。
今天我们将基于物理学家罗杰·彭罗斯的发现来进行逻辑分析。1970年，他发现了用具有五边形的角和边的两种不同形状制作图案的可能性。这就是用同一个形状做出不同图案的诀窍。它在旋转72度角时看起来是一样的，这意味着如果你从5个不同的角度旋转360度，它看起来还是一样的。例如，在下面的动图中，五角星被反复使用。但由于这些恒星每次都被不同的形状包围着，整个模式从不向任何方向重复。这是一个经典的例子，图案有旋转对称，但没有跨界对称。
无理数
现在来看看这个现象的数学。永不重复的性质具有旋转对称但无跨界对称的晶体图案来自无理数。要详细说明，可以取一个正五边形。五边形应该具有黄金比例。这意味着你在五边形内部画的五角星的边长与实际五角星的边长之比应该等于著名的无理数“phi”或1.618(不是pi)。黄金分割也满足= 1+1/的关系。因此，正如你在下面的图片中所看到的，当一个准晶体由来自五边形的瓦片构成时，我们观察到72度角的旋转对称。
这种五重对称可以在准晶体的图像中找到，即围绕中央红点的十条径向线(上图)。白色的球可以被认为是原子在晶体结构中的位置，而红色和黄色的杆代表粒子之间的键，以及结构的形状和对称性。
形成三维准晶体需要以上两个特征。第一个是要求出现两种不同大小的图案在一个适当的无理比(例如)下，两者都应该出现在系统中。第二个要求是，这些模式应该能够影响彼此的外观。其他规则的晶体结构，如六边形，体心立方体等也可以形成永不重复的结构。这些模型使我们能够探索所有这些不同模式的可能性，并确定准晶体在自然条件下形成的条件。
数学不仅仅是理论，但对于许多实际应用也非常重要，包括制作非常高效的准晶体激光器和家庭油漆整理。这就是为什么利兹大学的研究人员对这一现象非常感兴趣，并为我们带来了这个奇妙的答案。
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